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Chapitre 4: Équation d'une droite
I. Équation réduite d'une droite
a. Définition.
Soit (O ; I ; J) un repère orthonormé.
L’équation réduite d’une droite (𝑫) non parallèle à l’axe des ordonnées s’écrit sous forme : (D) : y = 𝒂𝒙 + b
L’équation réduite d’une droite (𝑫) non parallèle à l’axe des ordonnées s’écrit sous forme : (D) : y = 𝒂𝒙 + b
- Le nombre 𝒂 est appelé le coefficient directeur (ou la pente) de la droite (D).
- Le nombre 𝒃 est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite (D).
b. Exemple 1
On considère la droite (D) d’équation: y = 3𝒙 + 5, Alors:
- 3 est le coefficient directeur de (D).
- 5 est l’ordonnée à l’origine.
c. Exemple 2
On considère la droite (∆) d’équation: y = -𝒙, Alors:
- -1 est le coefficient directeur de (∆).
- 0 est l’ordonnée à l’origine.
d. Remarque
e. Exemple 1
Soit : (D) : y = 3𝒙 - 8.
Est-ce que A(2 ; 0 ) appartiennent à (∆).
Correction:
f. Exemple 2
Soit : (∆) : y = 3𝒙 - 8.
sachant que: A(2𝒂 ; 𝒂 ) ∈ (∆)
déterminer la valeur de 𝒂.
Correction:
g. Cas Particulier
- Équation réduite de l’axe des abscisses est: 𝒚 = 0.
- Équation réduite de l’axe des ordonnées est: 𝒙 = 0.
- Équation réduite de la droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par le point 𝐌 est: 𝒚 = 𝐛.
- Équation réduite de la droite parallèle à l’axe des ordonnées et passe par le point 𝐌 est: 𝒙 = 𝐚.
II. Représentation graphique d’une droite définie par une équation dans repère orthonormé :
a. Propriété.
Pour construire une droite définie par une
équation dans un repère orthonormé il suffit de
déterminer deux points différents de cette droite.
b. Exemple 1
Soit : (∆) : y = -2𝒙 + 3.
on choisit 𝒙 = 𝟎 alors 𝒚 = −𝟐 × 𝟎 + 𝟑 = 3
on choisit 𝒙 = 𝟏 alors 𝒚 = −𝟐×𝟏+𝟑 = - 2 + 3 = 1
c. Exemple 2
III. Déterminer l’équation réduite d’une droite définie par deux points:
a. Propriété
Si la droite (D) définie par l’équation:
𝒚 = 𝒂 𝒙 + 𝒃 passant par les deux points:
donc son coefficient directeur est :
b. Remarque
Pour déterminer b ( l’ordonnée à l’origine de la
droite (𝑨𝑩) ) on peut utiliser le point 𝑨 au lieu
d’utiliser le point 𝑩.
c. Exemple
On détermine l’équation réduite de la droite (𝑨𝑩) passant par :
A( −𝟏 ; −𝟑 ) et 𝐁( −4 ; 0).
Correction:
l’équation réduite de la droite (𝑨𝑩) s’écrit sous forme :
(𝑨𝑩) :𝒚 = 𝒂 𝒙 + 𝒃
On calcule 𝒂.
IV. Déterminer l’équation réduite d’une droite à Partir d’un de ses points et de son coefficient directeur:
a. Exemple.
On détermine l’équation réduite de la droite (𝑨𝑩) passant par le point
A( 𝟐 ; −𝟏) et de
coefficient directeur est: 3.
Correction:
l’équation réduite de la droite (𝑨𝑩) s’écrit sous forme :
(𝑨𝑩) : 𝒚 = 𝟑 𝒙 + 𝒃
V. Condition de parallélisme de deux droites :
a. Propriété.
Soient (𝑫) et (∆) deux droits d’équation réduites:
Autrement dit:
Deux droits sont parallèles signifie qu’elles
sont le même Coefficient directeur .
b. Exemple
Les droite (𝑫) :𝒚 = 𝟑 𝒙 + 𝟏 et (∆) :𝒚 = 𝟑 𝒙 −𝟐
ont même Coefficient directeur donc elles sont parallèles.
c. Application
Déterminer l’équation réduite de la droite (D)
passant par le point
A(-1 ; 2) et parallèle à
la droite : (∆) :𝒚 =𝟐 𝒙 - 5
Correction:
l’équation réduite de la droite (D) s’écrit sous forme :
(D) : 𝒚 = 𝒂 𝒙 + 𝒃
VI. Condition de perpendicularité de deux droites
a. Propriété.
Soient (𝑫) et (∆) deux droits d’équation réduites:
Deux droits sont perpendiculaires si le Produit
de leurs Coefficients directeurs est égale à-1.
b. Exemple
Déterminer l’équation réduite de la droite (∆)
passant par le point
C(-8 ; 3) et perpendiculaire à
la droite : (D) :𝒚 =1/4 𝒙 - 1
Correction:
l’équation réduite de la droite (∆) s’écrit sous forme :
(∆) : 𝒚 = 𝒂 𝒙 + 𝒃
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