الدرس السادس الدالة الخطية والدالة التآلفية : Fonctions linéaires et affines (الثالثة اعدادي : 3eme-annee-college)

الدرس السادس الدالة الخطية والدالة التآلفية : Fonctions linéaires et affines (الثالثة اعدادي : 3eme-annee-college)

Chapitre 6: 

Fonctions Linéaires et  Fonctions Affines.

I. Fonction linéaire :

1. Définition.

𝒂 un nombre réel.

• f⁡(𝒙) = a𝒙 , s'appelle une fonction linéaire.
  
• f⁡(𝒙) se lit f de 𝒙.
• Le nombre réel a s’appelle le coefficient de la fonction linéaire f.
• Le nombre a𝒙 s'appelle l'image de 𝒙 par la fonction linéaire f.

2. Exemple 1.

𝒇, 𝒈 et 𝒉 sont des fonctions définies par : f⁡(𝒙) = - 2𝒙 , g⁡(𝒙) = 1/2 𝒙   et    h⁡(𝒙) = √3 𝒙 

Quel est le coefficient des  fonction 𝒇, 𝒈 et 𝒉 ?

𝒇, 𝒈 et 𝒉 sont des fonctions linéaires de coefficients respectifs:  -2  ,  1/2   et  √3

3. Exemple 2.

On considère la fonction linéaire 𝒇 définie par: f⁡(𝒙) =  2𝒙

1. Calculer : f⁡(0) et f⁡(- 1).
2. Déterminer l’image de 3 par la fonction f.
3. Déterminer le nombre dont l’image par la fonction f est - 8.

Correction

1- ** On a : f⁡(𝒙) =  2𝒙

donc:       f⁡(0) =  2 × 0                          

Alors :     f⁡(0) =  0                                    

    **  On a : f⁡(𝒙) =  2𝒙

donc:    f⁡(-1) =  2 × (- 1)

Alors :  f⁡(-1) =  - 2 

2- On a : f⁡(𝒙) =  2𝒙

donc: f⁡(3) =  2 × 3

donc: f⁡(3) =  6

Alors l’image de 3 par la fonction f est 6.

3- On a : f⁡(𝒙) =  - 8

donc: 2𝒙 = - 8 

donc: 𝒙 = - 8 / 2

donc: 𝒙 = - 4 

Alors le nombre dont l’image - 8 par la fonction f est - 4.

2. Coefficient d’une fonction linéaire.

a. Propriété.

Si 𝒇 est une fonction linéaire et 𝒙 un nombre réel non nul alors le coefficient de la fonction 𝒇 est le nombre réel:

b. Exemple.

On considère la fonction linéaire 𝒇 tel que: f(2)  =𝟔 .

 Déterminer le coefficient de la fonction 𝒇.

Correction:

On a 𝒇 est une fonction linéaire alors :  f(𝒙) = a 𝒙

Donc:   a = f(𝒙) / 𝒙

Donc:   a = f(2) / 2

Donc:   a = 6 / 2

Donc:  a = 3

Alors: f(𝒙) = 3 𝒙

c. Exercice d'application.

On considère les deux fonctions linéaires f et g définie par: f (𝒙) = 𝟓𝒙 et g (𝒙) = −𝟑𝒙. 

 1. Déterminer les coefficients de la fonction f et g. 

 2. Calculer f(𝟐) et g(4). 

 3. Quel est le nombre dont l’image est 7 par la fonctions linéaires f.

 4. Déterminer l’image de 4 par la fonction linéaire g.

Correction:

1- On a  :  f(𝒙) = 5𝒙

Donc le coefficient de la fonction f est 5.

     On a  :  g (𝒙) = −𝟑𝒙

Donc le coefficient de la fonction g est -3.

2- ** On a : f⁡(𝒙) =  5𝒙                    

donc:       f⁡(2) =  5 × 2                                        

Alors :     f⁡(2) =  10                                            

    ** On a :    g (𝒙) = −𝟑𝒙

donc:    g⁡(4) =  -3 × 4 

Alors :   g⁡(4) =  - 12

3-  On a : f⁡(𝒙) =  7

     donc: 5𝒙 = 7 

     donc: 𝒙 = 7 / 5

Alors le nombre dont l’image 7 par la fonction f est: 7 / 5.

4- On a : g⁡(𝒙) =  -3𝒙

donc:       g⁡(4) =  - 3 × 4

donc:       g⁡(4) =  -12

Alors l’image de 4 par la fonction g est: -12.

3. Représenter graphiquement une fonction linéaire.

a. Propriété.

 Soit (O; I; J) un repère orthonormé. 

La représentation graphique d’une fonction linéaire f est une droite passant par O(0 ; 0) l’origine du repère et l’un des points M (𝒙; f (𝒙 )).

b. Exemple.

 Soit f la fonction linéaire définie par:  f(𝒙) = (- ²⁄₃) 𝒙.

  1- Calculer f (3) .  

2- Représenter graphiquement de la fonction f dans un repère orthonormé (O; I; J).

Correction:

1- On a  :  f(𝒙) = (- ²⁄₃) 𝒙

donc:       f⁡(3) =  (- ²⁄₃) × 3                           

Alors :     f⁡(3) =  - 6/3

Alors:       f⁡(3) =  - 2        

2- La représentation graphique de la fonction f :        

La représentation graphique de la fonction f 

c. Remarque.

 Si: 𝑴(𝒙 ; 𝒚) Point appartient à la représentation graphique de la fonction linéaire 𝒇

 alors: 𝒇(𝒙) = 𝒚.

d. Exemple .

 Le plan est rapporté au repère orthonormé (O; I; J).

 Dans la figure, la droite (D) est la représentation graphique d’une fonction linéaire f.

1- Déterminer graphiquement l’image de 2 par f .

2- Déterminer graphiquement le nombre dont l’image par f est −4.

3- Montrer que: f (𝒙) = 2𝒙

Correction:

1- Déterminons graphiquement l’image de 2 par f.

on a: 𝑨 (𝟐 ;𝟒) ∈ (D)

 A𝐥𝐨𝐫𝐬: f (2) = 4

Donc l’image de 2 par la fonction f est 4.

2-  Déterminons graphiquement le nombre dont  l’image par f est −4.

on a: B (- 𝟐 ; - 𝟒) ∈ (D)

 A𝐥𝐨𝐫𝐬: f (-2) = - 4

Donc le nombre dont l’image - 4 par f est −2.

3- Montrons que : f (𝒙) = 2𝒙.

𝒇 est une fonction linéaire alors : f (𝒙) = a𝒙 

Alors : a = f(𝒙) / 𝒙

Donc:   a = f(2) / 2

Donc:   a = 4 / 2

Donc:  a = 2

Alors: f(𝒙) = 2 𝒙

II. Fonction Affine :

1. Définition.

𝒂 et b deux nombres réels.

• f⁡(𝒙) = a𝒙 + b , s'appelle une fonction Affine.
  
• Le nombre réel a s’appelle le coefficient de la fonction Affine f.
• Le nombre a𝒙 + b s'appelle l'image de 𝒙 par la fonction Affine f.   
• 𝒃  est appelé l’ordonnée à l’origine.

2. Exemple 1.

𝒇, 𝒈 et 𝒉 sont des fonctions définies par : f⁡(𝒙) = - 2𝒙+1 , g⁡(𝒙) = - 3/2 𝒙 + 5   et    h⁡(𝒙) = 2

Quel est le coefficient des  fonctions 𝒇, 𝒈 et 𝒉 ?

𝒇, 𝒈 et 𝒉 sont des fonctions linéaires de coefficients respectifs:  -2  ,  -3/2   et  0

3. Exemple 2.

On considère la fonction linéaire 𝒇 définie par: f(𝒙) =  2𝒙 - 4

1. Calculer : f⁡(0) et f⁡(1).
2. Déterminer l’image de 2 par la fonction f.
3. Déterminer le nombre dont l’image par la fonction f est 6.

Correction

1- ** On a : f⁡(𝒙) =  2𝒙 - 4

donc:       f⁡(0) =  2 × 0 - 4                         

Alors :     f⁡(0) =  - 4                                     

    **  On a : f⁡(𝒙) =  2𝒙 - 4

donc:    f⁡(1) =  2 × 1 - 4

Alors :  f⁡(1) =  2 - 4 = - 2 

2- On a : f⁡(𝒙) =  2𝒙 - 4

donc: f⁡(2) =  2 × 2 - 4

donc: f⁡(2) =  4 - 4 = 0

Alors l’image de 2 par la fonction f est 0.

3- On a : f⁡(𝒙) =  6

donc: 2𝒙 - 4 = 6 

donc: 2𝒙 = 6 + 4

donc: 2𝒙 = 10

 donc: 𝒙 = 10/2 = 5

Alors le nombre dont l’image 6 par la fonction f est 5.

2. Coefficient d’une fonction Affine.

a. Propriété.

 Si 𝒇 est une fonction Affine et 𝒙,𝒚 deux nombre réels différents ( 𝒙 ≠ 𝒚)

alors le coefficient de la fonction 𝒇 est le nombre réel:

b. Exemple.

On considère la fonction Affine 𝒇 tel que:  f(0)  = 3 et f(1)  = 5 .

 Déterminer le coefficient de la fonction 𝒇.

( Ecrire 𝒇(𝒙) en fonction de 𝒙)

Correction:

On a 𝒇 est une fonction Affine alors :  f(𝒙) = a 𝒙 + b

On calcul a.

On a: $$ a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $$

Donc: $$ a = \frac{f(1) - f(0)}{1-0} $$

Donc:  $$ a = \frac{5 - 3}{1} $$

Donc: $$ a = \frac{2}{1} $$

Donc:  a = 2

Alors: f(𝒙) = 2𝒙 + b

On calcul b.

On a: f(𝒙) = 2𝒙 + b  et f(0) = 3

Alors: f(0) = 2 × 0 + b = 3

Donc: 0 + b = 3

Alors: b = 3

Donc l’expression de la fonction 𝒇 est: f(𝒙) = 2 𝒙 + 3

3. Représenter graphiquement une fonction Affine.

a. Propriété.

 Soit (O; I; J) un repère orthonormé. 

La représentation graphique d’une fonction Affine f est une droite passant par les deux points:

b. Exemple.

 Soit g la fonction Affine définie par:  g(𝒙) = 2 𝒙 + 4.

Représenter graphiquement de la fonction g dans un repère orthonormé (O; I; J).

Correction:

** on choisit 𝒙 = 0

      donc:    g(0) = 2 × 0 + 4  = 4 

** on choisit 𝒙 = - 2

      donc:    g(-2) = 2 × ( - 2 ) + 4  = - 4 + 4 = 0 

La représentation graphique de la fonction f :

La représentation graphique de la fonction f 

c. Remarque.

 Si: N(𝒙 ; 𝒚) Point appartient à la représentation graphique de la fonction Affine g

 alors: g(𝒙) = 𝒚.

d. Exemple .

 Le plan est rapporté au repère orthonormé (O; I; J).

 Dans la figure, la droite (D) est la représentation graphique d’une fonction Affine f.

1- Déterminer graphiquement l’image de - 1 par f .

2- Déterminer graphiquement le nombre dont l’image par f est 4.

3- Montrer que: f (𝒙) = - 𝒙 + 2

Correction:

1- Déterminons graphiquement l’image de - 1 par f.

on a: 𝑨 (- 1 ; 3) ∈ (D)

 A𝐥𝐨𝐫𝐬: f (-1) = 3

Donc l’image de - 1 par la fonction f est 3.

2-  Déterminons graphiquement le nombre dont  l’image par f est −4.

on a: B (- 𝟐 ; 𝟒) ∈ (D)

 A𝐥𝐨𝐫𝐬: f (-2) = 4

Donc le nombre dont l’image  4 par f est −2.

3- Montrons que : f (𝒙) = - 𝒙 + 2.

𝒇 est une fonction Affine alors : f (𝒙) = a𝒙  + b

On calcul a.

On a: $$ a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $$

Donc: $$ a = \frac{f(-2) - f(-1)}{-2-(-1)} $$

Donc:  $$ a = \frac{4 - 3}{-2+1} $$

Donc: $$ a = \frac{1}{-1} $$

Donc:  a = - 1

Alors: f(𝒙) = - 𝒙 + b

On calcul b.

On a: f(𝒙) = - 𝒙 + b  et f(- 1) = 3

Alors: f(- 1) = - (-1) + b = 3

Donc: 1 + b = 3

Alors: b = 3 - 1 = 2

Donc l’expression de la fonction 𝒇 est: f(𝒙) = - 𝒙 + 2

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الفيديو الاول: 📺 شاهد الفيديو هنا: 📥 أو من هنا

في هذا الفيديو، ستجد شرحًا واضحًا وسهل الفهم يغطي جميع هذه الفقرات بأسلوب مبسط.

• تعريف الدالة الخطية : fonction linéaire
• تحديد معامل الدالة الخطية : Le coefficient d'une fonction linéaire ( أمثلة)
• تحديد صيغة الدالة التالفية : Déterminer la fonction linéaire
• تحديد صورة عدد بالدالة الخطية: Quelle est l’image de nombre par la fonction linéaire
• تحديد عدد الذي صورته معلومة بالدالة الخطية: Quel nombre a pour image
• تمثيل الدالة الخطية في معلم متعامد ممنظم:La représentation graphique d'une fonction linéaire

الفيديو الثاني: 📺 شاهد الفيديو هنا: 📥 أو من هنا

في هذا الفيديو ستجد شرح مبسط ومفهوم بطريقة بسيطة لهذه الفقرة:

• تعريف الدالة التآلفية : fonction affines
• تحديد صيغة الدالة التالفية : Déterminer la fonction linéaire
• تحديد معامل الدالة التآلفية : Le coefficient d'une fonction affines ( أمثلة)
• تحديد صورة عدد بالدالة التآلفية: Quelle est l’image de nombre par la fonction affines
• تحديد عدد الذي صورته معلومة بالدالة التآلفية: Quel nombre a pour image
• تمثيل الدالة التآلفية في معلم متعامد ممنظم : La représentation graphique d'une fonction affines

3- التمارين : les exercices

الفيديو الثالث: 📺 شاهد الفيديو هنا: 📥 أو من هنا

في هذا الفيديو ستجد شرح مبسط ومفهوم بطريقة بسيطة لسلسة التمارين :

• تصحيح تمرين الدالة الخطية والتآلفية من امتحان جهوي جهة الدار البيضاء سطات 2022. correction d'examen national 2022 math 3apic Casablanca Settat

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